Autor: Zoran Popović
Pročitao sam jednom tekst o NM, i vidim tu mnogo problema već ,,iz aviona”.
1) Terminologija: pravilo je da se koristi terminologija nauke koja je standardna, da ne bi večito izmišljali nove nomenklature, oznake i slično, i gubili vreme utvrđujući šta je šta.
2) Opisao si grubo osnovu zasnivanja iskaznog računa, ne i predikatskog računa – ako aksiomatski zasnivaš formalnu teoriju, moraš do kraja izraziti sve aksiome i definicije, i pokazati pre svega da je konzistentan tj. da postoji formalni model.
2.1) bitna razlika između iskaznog računa (propositional logic) i predikatskog računa prvog reda (PR1), jesu kvantifikatori i promenljive, sa preslivakanjem u model (valuacija), zbog kojih dokazivanje tvrdnje teorije ili njene konzistentnosti može biti netrivijalan, kao i dokazivanje kompletnosti.
2.2) Pored PR1, uvođenjem dodatnih kvantifikatora nastaju modalne logike, a ti koristiš implicitno modalnu logiku.
3) Viševrednosne modalne logike postoje, ali malo koja ispunjava aksiom isključenja trećeg: X ili ne X Jedini ,,upotrebljiv” primer u tom smislu je trovrednosna logika Lucasiewicz-a, a već 4-vrednosna ne ispunjava taj aksiom (dokaz mogu pronaći, ali to je manji problem).
U prilogu ti je A. de Vriesov rad koji rado citiram, gde je jako lepo objašnjena algebarska taksonomija logika, ilustracija na str. 15:
Pokušaću da ti kratko napišem šta je problem sa aritmetikom koju pokušavaš da zasnuješ, za početak. Već neko vreme pokušavam da napišem kraći popularan tekst o zasnivanju moderne matematike i logike, i uvek shvatim da to neće biti baš ni toliko kratak tekst, a ponajmanje lak posao …
… ali nije neizvodiv, pored ostalih obaveza – iskreno, radije bih vreme posvetio tome, nego da se igramo filozofije i matematike – ukratko, matematika je pre svega jedan ljudski jezik – veoma specifičan, doduše. Ako se ne razume teorija formalnih jezika, ne može se razumeti ni njen ,,temelj”, meta-matematematika, u koju spadaju teorija formalnih jezika, teorija skupova (npr. ZFC aksiomatizacija ili neka varijanta sa/bez kategorija i familija skupova, svaka sa svojim ,,svetom”, rešenjima i problemima), i matematička logija. Sve ostalo je nadgradnja, koja je filozofima nauke manje zanimljiva od temelja. Suština formalizma je da se ontologija najpre vezuje za formalne modele, a svako dublje ontološko pitanje prirode matematike nije bitno za samu matematiku i njenu filozofiju koja bi mogla uticati na nju (postoji nekoliko osnovnih istorijskih pravaca).
Mislim da je zato veoma važno biti najpre disciplinovan i sistematičan kada je reč o formalnim sistemima, jer je istorija matematike isprepletena paradoksima i njihovim rešenjima, a izgradnja intuicije nije moguća bez potpunog razumevanja, koliko i tehnike. Ramanudžan je bio jedan od mnogih briljantnih umova, ali on nije ,,pravilo” u tom svetu u kojem se nije proslavio baš, upravo zbog nedostatka te discipline, pored tragične biografije (a i ima i tragičnijih). Ukratko, filozofiju i nauku moramo razlikovati, tako da ne ,,ubijemo problem” partikularizacijom. Formalizam i nominalizam su zato izmišljeni, ne kose se sa platonističkim tumačenjem, koje jeste i dalje popularno, ali je napušteno davno kao i pozitivizam u nauci generalno. U fizici postoji škola hiperpitagorejaca (Max Tegmark npr.), koji vraćaju platonizam u fokus, ali je to i dalje daleko od nekog konkretnog rezultata.
Konačno, zašto ne možemo napraviti konzistentnu aritmetiku sa a/0=∞
Ukratko, ∞ se vezuje za ordinale u teoriji skupova, gde se pre svega razlikuje prebrojiva od neprebrojive beskonačnosti (uz Kantorovu hipotezu kontinuuma). Algebarski, uz Peanove aksiome, možemo konstruisati formalni model koji ispunjava aksiome prstena celih brojeva kao formalnog koncepta (Z,+,*,0,1). Već je njegova konzistentnost tj. kompletnost problematična. Kada bi prošao kroz osnove algebre o laticama, grupama i prstenovima, jasnije bi ti bilo da proširivanjem operacija + i * ne možeš dobiti konzistentnu teoriju.
Množenjem leve i desne strane a/0=∞ sa 0, trebalo bi da važi: a=0*∞ za svako a iz Z∞, pa * više ne bi bilo preslikavanje (nema jedinstvenu vrednost). Sa sabiranjem a+∞ slično, dobili bi da je moguće dokazati svaki identitet, dakle nekonzistentna teorija.
Odgovor: Ljubinko Stevanović
Zorane, hvala ti sto si srušio zgradu bez temelja. Pokazao si mi kojim redom treba graditi. Bacio si mačku, sada će ona morati da se dočeka na noge. I nastavi dalje 🙂